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LOGARITMOS

LOGARITMOS

 
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Logaritmos

Definição: sejam dados dois números reais positivos a e b, com b ≠ 1; chamamos de logaritmos de a na base b, e indicamos  logba, ao expoente c ao qual devemos elevar a base b para encontrarmos o número a:
logba = c ®bc = a para 0 < b ≠ 1 e a > 0   
 

b ®é a base

® é o logaritmo

a  ®é o logaritmando ( aquele de quem se calcula o logaritmo )


1) Calcular log264.

log1.jpg
portanto log264 = 6

2) Calcular log813

log2.jpg

3) Calcular  log81/2

log3.jpg

imagem2.jpg

log4.jpg

5) Calcular log7 7
log7 7 = x
7x  =  7 Þ 7 71 Þ x = 1

6) Calcular log8 1
log8 1 = x
8x  =  1 Þ 8x   80 Þ x = 0

log34.jpg

log5.jpg

8) Calcular log0,2 125

log6.jpg

9) Calcular a base b, sabendo que logb 49 = 2 

log7.jpg

pela definição 0 < b ≠ 1, portanto b = -7 não serve.

 

b = 7

10) Determinar os valores de x para que exista log5 (2x + 3).
Para  que exista um logaritmo, o logaritmando deve ser positivo
a > 0

 

2x + 3 > 0

 

2x > -3

 

x > - 3/2

 

11) Determinar os valores de x para os quais exista log3x-7 pela definição             0 < b ≠ 1.

 0 < 3x – 7 ≠ 1

 

 7 < 3x  ≠ 8

       
      7/3 < x ≠ 8/3

12) Determinar os valores de x para os quais exista log2x-5 ( x 5x +4)
 
x2 5x +4 > 0  e  0 < 2x - 5 ≠ 1
 
x2 5x +4 > 0
raízes da função  f(x) = x2 5x +4

log8.jpg

log9.jpg

x < 1 ou x > 4                2x – 5 ≠ 1

 

0 < 2x – 5 ≠ 1               2x ≠ 6

 

2x – 5 > 0                     x ≠ 6/2

 

2x > 5                           x ≠ 3

 

X > 5/2

log10.jpg

X > 4

 

Conseqüências da definição:

Supondo que 0 < b ≠ 1, a > 0, a1 > 0 e a2 > 0 e α Π IR, podemos tirar as seguintes conseqüências da definição de logaritmo:

 

1) logb 1 = 0

 

2) logb = 1

 

3) a1 = a Þ loga1 = logb a2

 

      4) blog ba = a

 

     5) logbα = α

 

Facilitando cálculos trabalhosos:

Seja a seguinte expresso numérica:

log11.jpg

Através do uso de logaritmo o calculo dessa expressão torna-se muito menos trabalhoso; levando-se em conta que antigamente não existia a calculadora para efetuar esse tipo de calculo, só as tábuas de logaritmos. Algumas calculadoras eletrônicas apresentam a tecla LOG que calcula logaritmos decimais, isto é, logaritmos na base 10. Para calcularmos o logaritmo decimal de um numero positivo, devemos proceder da seguinte forma:

- Digita-se o número positivo do qual se quer obter o logaritmo.

- Em seguida aperta-se a tecla LOG, obtendo-se no visor o logaritmo decimal do número digitado. Por exemplo, digitando-se o número 1,4 e apertando-se a tecla LOG, aparecera no visor o número 0,14612 ( considerando-se 5 casas decimais ), chamado logaritmo decimal do número 1,4. Isso significa que 100,14612, ou seja, escrevemos o número 1,4 como uma potência de base 10. Generalizando temos  log a = x Þ10x = a

Calculando a expressão numérica acima:

log12.jpg

Substituindo os valores temos

log13.jpg

log14.jpg

log15.jpg

log16.jpg

log17.jpg

log18.jpg

log19.jpg

 

Escrevendo os números como potências de base 10, ocorre o seguinte:

- Multiplicações transformam-se em adições

- Divisões transformam-se em subtrações

- Potenciações transformam-se em multiplicações

- Radiciações transformam-se em divisões

 

Propriedades:

 

Supondo que 0 < b ≠ 1, a > 0, a1 > 0, a2 > 0, ...., an > 0  e  

α Î IR 

 

1) logb(a1 x a2  x ...x an) = logba1 + logba+ ... + logban

 

2)  logb (a1a2) = logba logba

 

3) logbaα = α logba

log21.jpg

com α ≠ 0

Exercícios:

1)     Sabendo-se que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcular log6 ?

log22.jpg

2) Sabendo-se que log2 = 0,3010 calcular log5.

log24.jpg

3) Sabendo-se que log2 = 0,3010, calcular log100 2.

log23.jpg

4) Sabendo-se que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcular log108.

 

108    2

 

  54     2 

     

  27     3

  

   9      3

 

   3      3

 

   1       2²x3³

     

log25.jpg

5) Resolver a equação:

 

  log2 (x + 1) + log2 (x + 4) = 2

  x + 1 > 0 e x + 4 > 0

 log2 (x + 1)(x + 4) = 2

(x +1)(x + 4) = 2²

 

(x + 1)(x + 4) = 4

 

x² + 4x + x + 4 = 4

 

x² + 5x + 4 = 4

 

x² + 5x = 4 – 4

 

x² + 5x = 0

 

x(x + 5) = 0

 

x = 0 ou x + 5 = 0

 

x + 5 = 0  x = - 5

 

Substituindo nas inequações conseqüentes da definição:

 

x + 1 > 0       e      x + 4 > 0

 

0 + 1 > 0               0 + 4 > 0

 

1 > 0 (V)                4 > 0 (V)

 

-5 + 1 > 0                  

 

-4 > 0 (F)

 

A solução que satisfaz a equação é S = { 0 }

 

6) Considere a tabela dos logaritmos a seguir:

 

n    log n

2    0,301

3    0,477

5    0,699

7    0,845

10  1,000

 

Com o auxílio dessa tabela, podemos calcular o

logaritmo de 0,015. Seu valor é :

 

a) 1585        c) -1,824         e) -3,08

 

b) 0,111       d) -2,056

 

log26.jpg

Usando os valores da tabela, temos:

 

0,477 + 0,699 – 3 x 1 = 1,176 – 3 = - 1,824 alternativa c

 

7) A solução da equação log (5x + 1) - log (3x - 2) = 2 é:

 

5x + 1 > 0                            3x – 2 > 0

5x > -1                                 3x > 2

x > -1/5                                 x > 2/3

 

log27.jpg

5x + 1 > 0

5. 0,6813 + 1 > 0

4,4065 > 0  satisfaz a desigualdade

 

3x – 2 > 0

3. 0,6813 – 2 > 0

2,0439 – 2 > 0

0,0439 > 0 satisfaz a desigualdade, então x = 201/295 é raiz da equação.

log28.jpg

x > 2/3                        2/3 = 0,666... 

8) Resolver a equação log11 (2x - 3) =  log115

 

2x – 3 > 0

 

 

2x – 3 = 5

2x = 5 + 3

2x = 8

x = 8/2 = 4

2 x 4 – 3 > 0

8 – 3 > 0

5 > 0 ; logo a raiz 4 satisfaz a condição de existência e, em conseqüência, vai para o conjunto-solução da equação dada, e portanto, temos que:

S = {4}

 

Mudança de base

Supondo que 0 < b ≠ 1, 0 < c ≠ 1 e a > 0, temos que:

log29.jpg

Exercícios:

 

1)  Sabendo que log 2 = 0, 3010 e log 3 = 0,4771, calcular log23.

log30.jpg

2) Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcular log3 2.

log31.jpg

Ilustração

 

Condições de existência

Nos exemplos abaixo você poderá entender melhor as condições de existência dos logaritmos. A base b de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um.

Exemplos:

logab.jpg

O logaritmando a não pode ser negativo e nem igual a zero.

Exemplos:

logac.jpg

Conseqüências da definição

logq.jpg

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

INEQUAÇÃO DO 1° GRAU

EQUAÇÃO DO 2° GRAU

PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

NÚMEROS COMPLEXOS

FUNÇÃO DO 2º GRAU

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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud
 
Campos do Jordão - SP


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