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Progressão Aritmética Progressão Geométrica

PA e PG

 
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Progressão aritmética

 

Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão.

Observe os exemplos:

50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.

3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.

-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.

156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.

100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.

6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.

 

Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30

 

Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA.

145, 159, 173, 187, 201

 

Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.

32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11

 

Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.

 

Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.

 

Símbolos usados nas progressões

Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por an.

 

Veja alguns exemplos

 

Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32

Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.

A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA  e o termo anterior.

Observe os exemplos:

 

Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884  a razão é r = 7, pois:

a2 – a1 = 1863  - 1856 = 7

a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7

a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7

a5 – a4  = 1884 – 1877 = 7

 

Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:

a2 – a1 = 15 – 20 = -5

a3 – a2 = 10 – 15 = -5

a4 – a3 = 5 – 10 = -5

 

Classificação das progressões aritméticas

 

Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.

Exemplo:

(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4

Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa.

Exemplo:

(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10

Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.

Exemplo:

pa1.jpg

Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.

5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x

5x – 3 – x = 2x +11 – 5x

5x – x – 2x + 5x = 11 + 3

7x = 14

x = 14/7 = 2

 

Fórmula do termo geral da PA

 

an = a1 + (n – 1).r

 

 

Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)

r = 4      a1 = 9       n = 61       a61 = ?

a61 = 9 + (61 – 1).4

a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249

 

Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2  e  a8 = 3

an = a1 + ( n – 1 ).r

a8 = a1 + (8 – 1 ).r

a8 = a1 + 7r

3 = 2 + 7r

7r = 3 – 2

7r = 1

 r = 1/7

Determinar o número de termos da PA  (4,7,10,...,136)

a1 = 4     an = 136               r = 7 – 4 = 3

an = a1 + (n – 1).r

136 = 4 + (n – 1).3

136 = 4 + 3n – 3

3n = 136 – 4 + 3

3n = 135

 n = 135/3 = 45 termos

 

Determinar a razão da PA tal que:

a1 + a4 = 12     e       a3 + a5 = 18

 

a4 = a1 + (4 – 1).r              a3 = a1 + (3 – 1).r              a5  = a1 + 4r

a4 = a1 + 3r                       a3 = a1 + 2r

 

a1 + a1 + 3r = 12                                 

 

 

a1 + 2r + a1 + 4r = 18                          

 

2a1 + 3r = 12

2a1 + 6r = 18

3r = 6

r = 6/3 = 2

 

Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .

 

Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.

(1,_,_,_,_,_,25)

a7 = a1 + 6r

25 = 1 + 6r

6r = 24

r = 24/6

r = 4

(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)

 

Representação genérica de uma PA

 

PA de três termos:

(x, x + r, x + 2r)

ou

(x – r, x , x + r), em que a razão é r

 

PA de quatro termos:

(x, x + r, x + 2r, x + 3r)

ou

(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r

 

Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA

Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

1  2  3  4..................................97  98  99  100

 

4 + 97 = 101

3 + 98 = 101

2 + 99 = 101

1 + 100 = 101

 

Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:

1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050

Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer:

pa2.jpg

Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).

 

a30 = a1 + (30 – 1).r

a30 = a1 + 29r

a30 = 4 + 29.5 = 149

pa3.jpg

Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).

 

an = 2 + (n – 1).8

an = 2 + 8n – 8

an = 8n – 6

pa4.jpg

Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).

pa5.jpg

Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.

 

Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).

O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.

O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.

294 = 105 + (n – 1).7

294 = 105 + 7n – 7

7n = 294 – 105 + 7

7n = 196

 n = 196/7 = 28

pa6.jpg

 

Progressão geométrica

Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.

 

Observe estes exemplos:

8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.

5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.

3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10

 

Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.

2, 12, 72, 432, 2592

Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.

4,20,100,500

 

Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.

3,30,300,3000,30000,300000

a6 = 300000

 

Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.

-90,270,-810,2430,-7290

 

Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.

q = 30/180 = 3/18 = 1/6

A razão é 1/6

pa7.jpg

Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

pa8.jpg

Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).

pa9.jpg

Determinar a razão da PG tal que:

pa10.jpg

Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).

pa11.jpg

Determinar a razão da PG tal que:

pa12.jpg

Representação genérica de uma PG:

 

a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;

(x/q, x, xq), com razão q, se q 0.

 

b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;

(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q 0.

 

Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.

pa13.jpg

Soma dos n primeiros termos de uma PG:

Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:

Se q = 1, então Sn = n.a1

pa15.jpg

Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).

pa14.jpg

Exercícios resolvidos de PA e PG

 

Dada a PA (a + b,5a – b,...) determine seu 4º termo.

r = 5a – b – (a + b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b

 

 

apa2.jpg

apa1.jpg

A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão de progressão formada pelos capitais nos balanços é:

Solução:[

Sendo C o capital inicial, temos:

C,1,1C, (1,1)²C,...

Logo a razão q é dada por:

q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10

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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud
 
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