Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.

5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x

5x – 3 – x = 2x +11 – 5x

5x – x – 2x + 5x = 11 + 3

7x = 14

x = 14/7 = 2

Fórmula do termo geral da PA

a_n = a₁ + (n – 1).r

Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)

r = 4      a₁ = 9       n = 61       a₆₁ = ?

a₆₁ = 9 + (61 – 1).4

a₆₁ = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249

Determinar a razão da PA (a₁, a₂, a₃,...) em que a₁ = 2  e  a₈ = 3

a_n = a₁ + ( n – 1 ).r

a₈ = a₁ + (8 – 1 ).r

a₈ = a₁ + 7r

3 = 2 + 7r

7r = 3 – 2

7r = 1

 r = 1/7

Determinar o número de termos da PA  (4,7,10,...,136)

a₁ = 4     a_n = 136               r = 7 – 4 = 3

a_n = a₁ + (n – 1).r

136 = 4 + (n – 1).3

136 = 4 + 3n – 3

3n = 136 – 4 + 3

3n = 135

 n = 135/3 = 45 termos

Determinar a razão da PA tal que:

a₁ + a₄ = 12     e       a₃ + a₅ = 18

a₄ = a₁ + (4 – 1).r              a₃ = a₁ + (3 – 1).r              a₅  = a₁ + 4r

a₄ = a₁ + 3r                       a₃ = a₁ + 2r

a₁ + a₁ + 3r = 12                                 

a₁ + 2r + a₁ + 4r = 18                          

2a₁ + 3r = 12

2a₁ + 6r = 18

3r = 6

r = 6/3 = 2

Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .

Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.

(1,_,_,_,_,_,25)

a₇ = a₁ + 6r

25 = 1 + 6r

6r = 24

r = 24/6

r = 4

(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)

Representação genérica de uma PA

PA de três termos:

(x, x + r, x + 2r)

ou

(x – r, x , x + r), em que a razão é r

PA de quatro termos:

(x, x + r, x + 2r, x + 3r)

ou

(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r

Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA

Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

1  2  3  4..................................97  98  99  100

4 + 97 = 101

3 + 98 = 101

2 + 99 = 101

1 + 100 = 101

Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:

1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050

Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer:

Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).

a₃₀ = a₁ + (30 – 1).r

a₃₀ = a₁ + 29r

a₃₀ = 4 + 29.5 = 149

Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).

a_n = 2 + (n – 1).8

a_n = 2 + 8n – 8

a_n = 8n – 6

Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).

Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.

Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).

O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.

O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.

294 = 105 + (n – 1).7

294 = 105 + 7n – 7

7n = 294 – 105 + 7

7n = 196

Progressão geométrica

Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.

Observe estes exemplos:

8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.

5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.

3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10

Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.

2, 12, 72, 432, 2592

Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.

4,20,100,500

Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.

3,30,300,3000,30000,300000

a₆ = 300000

Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.

-90,270,-810,2430,-7290

Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.

q = 30/180 = 3/18 = 1/6

A razão é 1/6

Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).

Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).

Determinar a razão da PG tal que:

Representação genérica de uma PG:

a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;

(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.

b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;

(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.

Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.

Soma dos n primeiros termos de uma PG:

Sendo S_n a soma dos n primeiros termos da PG (a_1,a_2, a₃,.._.a_n,...) de razão q, temos:

Se q = 1, então S_n = n.a₁

Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).

Exercícios resolvidos de PA e PG

Dada a PA (a + b,5a – b,...) determine seu 4º termo.

r = 5a – b – (a + b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b

A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão de progressão formada pelos capitais nos balanços é:

Solução:[

Sendo C o capital inicial, temos:

C,1,1C, (1,1)²C,...

Logo a razão q é dada por:

q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10

TRIÂNGULO RETÂNGULO