EQUAÇÃO DO 1º GRAU

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a variável. A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a seguir.

Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se mantém.

Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um mesmo número não-nulo, a igualdade se mantém.

Exemplo:

Vejamos alguns exemplos:

Seja a equação:

Seja a equação:

Seja a equação:

Membros de uma equação

Numa equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro da equação.

Exemplo: - 3x + 12 = 2x - 9

1º membro 2º membro

Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada termo

da equação.

4x – 9 = 1 – 2x

termos

Variável (ou incógnita) de uma equação:

Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de variáveis ou incógnitas.

Exemplos:

A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x

A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y

A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c

Cada um dos valores que colocados no lugar da incógnita, transformam a equação em uma sentença

verdadeira e é chamada de raiz da equação. Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.

1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6

2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6

O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem para facilitar o entendimento da solução da equação, mas para resolvê-la existe um metódo simples e prático que è o seguinte:

Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x

Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos que não apresentam variável. Os termos que mudam de membro tem os sinais trocados.

5x – 8 = 12 + x

5x – x = 12 + 8

Calculamos a somas algebricas de cada termo.

4x = 20

Quando se passa de um membro para o outro usa-se a operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa-se dividindo e o que está dividindo passa-se multiplicando. O número 4 no primeiro membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro.

4 . x = 20

Exercícios resolvidos

Resolver a equação:

2( x + 5 ) - 3( 5 – x ) = 5

Nesse tipo de equação, devemos inicialmente, retirar os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e a regra de eliminação de parênteses.

2x + 10 – 15 + 3x = 5

2x + 3x = 5 – 10 + 15

5x = 10

x =

x = 2

Resolver a equação:

Resolver a equação:

Nessa equação, inicialmente reduzimos todas as frações ao mesmo denominador, e a seguir cancelamos esses denominadores

m.m.c ( 3, 2, 6 ) = 6

3, 2, 6 2

3, 1, 3 3

1, 1, 1 2 . 3 = 6

Resolver a equação:

m.m.c ( 2, 3, 4 ) = 12

Efetuando as multiplicações:

Multiplicando os dois membros da equação pelo m.m.c dos denominadores, que é 12, vem:

Resolvendo a mesma equação pelo método da eliminação dos denominadores:

Resolver a equação:

Nessa equação é conveniente eliminar de início, os parênteses.

Resolver a equação:

m.m.c ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 420

Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?

( k – 3 ).3 + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0

3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0

3k + 8k + 4k = 9 + 20

15k = 29

k =

De o conjunto solução das equações literais do primeiro grau ( em R )

a) ax + bx + c = 2a + 2b + c

ax + bx = 2a + 2b + c – c

x( a + b ) = 2a + 2b

se a ≠ -b e b ≠ -a

b) ( a + x )² = ( a + 3 + x )( a – 2 + x )

a² + 2ax + x² = a² – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x²

2ax + x² – ax – 3x – ax + 2x – x² = - a² + a² – 2a + 3a – 6

x(2a – a – 3 – a + 2) = a – 6

x(-1) = a – 6

x =

Equação sem solução

Às vezes, uma equação não tem solução para um certo universo de números. Nesse caso, dizemos que ela é impossível ou que a solução é vazia.

Exemplo: resolver a equação.

Não existe nenhum número que multiplicado por 0 que resulte em 2.

Equação com infinitas soluções

Há casos em que todos os números do universo considerado são raízes da equação. Dizemos que ela tem infinitas soluções.

Exemplo: resolver a equação

Como qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, a equação tem infinitas soluções.

Resolver a equação:

m.m.c ( 2, 3, 4 ) = 12

Efetuando as multiplicações:

Multiplicando os dois membros da equação pelo m.m.c dos denominadores, que é 12, vem:

Resolvendo a mesma equação pelo método da eliminação dos denominadores:

Resolver a equação:

Nessa equação é conveniente eliminar de início, os parênteses.

Resolver a equação:

m.m.c ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 420

Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?

( k – 3 ).3 + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0

3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0

3k + 8k + 4k = 9 + 20

15k = 29

k =

De o conjunto solução das equações literais do primeiro grau ( em R )

a) ax + bx + c = 2a + 2b + c

ax + bx = 2a + 2b + c – c

x( a + b ) = 2a + 2b

se a ≠ -b e b ≠ -a

b) ( a + x )² = ( a + 3 + x )( a – 2 + x )

a² + 2ax + x² = a² – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x²

2ax + x² – ax – 3x – ax + 2x – x² = - a² + a² – 2a + 3a – 6

x(2a – a – 3 – a + 2) = a – 6

x(-1) = a – 6

x =

Equação sem solução

Às vezes, uma equação não tem solução para um certo universo de números. Nesse caso, dizemos que ela é impossível ou que a solução é vazia.

Exemplo: resolver a equação.

Não existe nenhum número que multiplicado por 0 que resulte em 2.

Equação com infinitas soluções

Há casos em que todos os números do universo considerado são raízes da equação. Dizemos que ela tem infinitas soluções.

Exemplo: resolver a equação

Como qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, a equação tem infinitas soluções.

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a variável. A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a seguir.

Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se mantém.

Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um mesmo número não-nulo, a igualdade se mantém.

Exemplo:

Vejamos alguns exemplos:

Seja a equação:

Membros de uma equação

Numa equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro da equação.

Exemplo: - 3x + 12 = 2x - 9

1º membro 2º membro

Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada termo

da equação.

4x – 9 = 1 – 2x

termos

Variável (ou incógnita) de uma equação:

Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de variáveis ou incógnitas.

Exemplos:

A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x

A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y

A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c

Cada um dos valores que colocados no lugar da incógnita, transformam a equação em uma sentença

verdadeira e é chamada de raiz da equação. Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.

1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6

2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6

O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem para facilitar o entendimento da solução da equação, mas para resolvê-la existe um metódo simples e prático que è o seguinte:

Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x

Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos que não apresentam variável. Os termos que mudam de membro tem os sinais trocados.

5x – 8 = 12 + x

5x – x = 12 + 8

Calculamos a somas algebricas de cada termo.

4x = 20

Quando se passa de um membro para o outro usa-se a operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa-se dividindo e o que está dividindo passa-se multiplicando. O número 4 no primeiro membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro.

4 . x = 20

Exercícios resolvidos

Resolver a equação:

2( x + 5 ) - 3( 5 – x ) = 5

Nesse tipo de equação, devemos inicialmente, retirar os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e a regra de eliminação de parênteses.

2x + 10 – 15 + 3x = 5

2x + 3x = 5 – 10 + 15

5x = 10

x =

x = 2

Resolver a equação:

Resolver a equação:

Nessa equação, inicialmente reduzimos todas as frações ao mesmo denominador, e a seguir cancelamos esses denominadores

m.m.c ( 3, 2, 6 ) = 6

3, 2, 6 2

3, 1, 3 3

1, 1, 1 2 . 3 = 6

Resolver a equação: