Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa

b e c: catetos

h: altura relativa a hipotenusa

m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações métricas

Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:

- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

b² = a.n                                    c² = a.m

- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.

b.c = a.h

- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

h² = m.n

- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.

Exemplo:

Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10

b.c =  a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8

c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6

b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4

Determine os valores literais indicados nas figuras:

a)      

13² = 12² + x²                                      5.12 = 13.y      

169 = 144 + x²                                     y = 60/13

x² = 25      

x = 5

b)

c)

d)

Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.

Determine x nas figuras.

a)

O triângulo ABC é eqüilátero.

O triângulo ABC é eqüilátero.

c)

Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

Razões trigonométricas

Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

senÊ = e/a                          senÔ = o/a

- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.

  cosÊ = o/a                         cosÔ = e/a

- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

   tgÊ = e/o                           tgÔ = o/e

Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e  tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º

Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6                                   senÊ = 4/5 = 0,8

cosÔ = 4/5 = 0,8                                   cosÊ = 3/5 = 0,6

tgÔ = 3/4 = 0,75                                   tgÊ = 4/3 = 1,333....

Ângulos notáveis

Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:

Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.

No triângulo ABD, temos:

Observação: sen45° = cos45°

Resumindo temos a tabela:

Exercícios resolvidos:

Solução:

2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.

Solução:

3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule:

a) A medida do lado do triângulo

b) A área do triângulo

4) Calcule x indicado na figura

Solução:

Solução:

6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?

Solução:

7) Na figura indicada calcule AB.

Solução:

8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?

A_{2 =} A₁ + A₃

100 = 36 + A₂

A₂ = 100 – 36 = 64cm²

9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.

10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo.