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NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS

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O que existe além dos números reais?

Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em 1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ + px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram aceitas pelos matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte equação:

 

x³ - 6x + 4 = 0

 

Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema

 

(u – v)³ - 6(u – v) + 4 = 0

uv = -2

 

u³ - 3u²v + 3uv² - v³ - 6u + 6v + 4 = 0

uv = -2

 

Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda , obtém-se:

 

u³ - v³ + 4 = 0

v = -2/u

1nc.jpg

Chamando u³ = t temos:

2nc.jpg

Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que não existem u nem v e, conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém, espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação

x³ - 6x + 4 = 0, pois 2³ - 6.2 + 4 = 0.

Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos números, como por exemplo:

3nc.jpg

Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli ( cerca de

1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade:

4nc.jpg

Dando assim subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos.

Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo, da equação x² + 1 = 0

x² + 1 = 0

x² = -1

S = {  }

Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação passará a ter solução não-vazia.

No conjunto dos números complexos,convenciona-se que:

5nc.jpg

Exemplo:

Vamos resolver a equação x² - 2x + 5 = 0.

6nc.jpg

Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que:

7nc.jpg

8nc.jpg

9nc.jpg

     A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.

Tomando um número complexo z = a + bi, temos:

a = 0   z = a + bi

b ≠ 0  (imaginário puro).

10nc.jpg

Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma

a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é também complexo.

Exemplo:

11nc.jpg

Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0 são reais.

Exercícios:

Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro ou real:

12nc.jpg

Determine o valor de m e n para que o complexo

z = (m² - 4) + (n³ - 27) i seja um imaginário puro.

Resolução:

z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b 0. Logo:

m² - 4 = 0

m² = 4

m = -2  ou m = 2

n³ - 27 0

27

n 3

 

Dados os complexos a seguir, determine:

a) m e n para que z = m + (2m - n + 1)i seja imaginário puro.

Resolução:

m = 0

2m – n + 1 0

-n -1

n 1

b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real.

Resolução:

2b + 7 = 0                                   qualquer a є R

2b = -7

b = - 7/2

 

c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0.

Resolução:

2x + 4 = 0                                       y – 3 = 0

2x = -4                                            y = 3

x = -4/2 = -2

 

Resolva as equações a seguir para U = C:

13nc.jpg

14nc.jpg

15nc.jpg

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Igualdade e operações

 

Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, dizemos que eles são iguais quando a parte real de z1 for igual a de z2, o mesmo ocorrendo com as partes imaginárias:

a1 + b1i = a2 + b2i ↔  a1 = a2 e b1 = b2

 

Exemplo:

Considere os complexos z1 = (a + 1) + 3i e z2 = 4 + (2 – b) i. Teremos z1 = z2 se ocorrer:

(a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i

a + 1 = 4

a = 3

2 – b = 3

b = -1

 

Adição e subtração

 

Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z1 = a1 + b1i e

z2 = a2 + b2i somando ou subtraindo as partes reais, a1 e a2  e as partes imaginárias b1 e b2:

(a1 + b1i) + (a2+ b2i) = (a1+ a2) + (b1+ b2) i

 

(a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2) i

18nc.jpg

Dados os complexos z1 = 2 – 3i e z2 = z2 = 4 + 6i, temos:

a)    z1 + z2 = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i

b)    z1 - z2 =  2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i

c)z2 – z1 = 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i

d)2z1= z1 +  z1 = 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i

e)2z2 = z2 + z2 = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i

 

Efetue as operações indicadas:

a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i

b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i

 

Multiplicação

Na multiplicação dos complexos   z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo

i² = -1. Assim:

z1 = a1 + b1i

z2 = a2 + b2i

z1 . z2 = (a1 + b1i).( a2 + b2i)

z1 . z2 = a1a2 + a1b2i + a2 b1i + b1 b2

Como i² = -1, temos:

(a1 + b1i).( a2 + b2i) = (a1a2 - b1 b2) + (a1b2 + a2 b1) i

 

Exemplos:

Vamos multiplicar z1 = 3 + 2i por z2 = 3 + 4i

z1 . z2 = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) =

9 + 18i – 8 = 1 + 18i

 

Se z1 = 4 e z2 = 2 -  5i, temos:

z1 . z2 = 4(2 – 5i) = 8 – 20i

Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos seja um número real:

z1 = 2 + i

z2 = 2 – i

z1 . z2 = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5

 

 

Dados z1 = 1 – 3i e z2 = 2 + i, calcule:

    a)  z1 . z2

         z1 . z2 = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i

   

    b) 2z1 - 3z2

            2z1 - 3z2  = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = - 4 – 9i      

      

    c)  z1²

        (1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = - 8 – 6i

 

    d)  z2²

        (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i

 

     e) (z1 + z2)( z1 - z2) 

         (1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] =

         = (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] =

         = -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i

 

Dados os complexos  z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para que 2z1 - z2  seja um imaginário puro.

Resolução:

 

z1 = a + 2i

z2 = 3 – bi

2z1 - z2 = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi =

= (2a – 3) + (4 + b)i

Para  2z1 - z2  seja um imaginário puro devemos impor:

2a – 3 = 0

2a = 3

a = 3/2

4 + b ≠ 0

b ≠ - 4

 

Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)².

Resolução:

z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48

 

Determine o valor real de x para que o número complexo:

z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.

Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0,

Pois Im(z) = 3 ≠ 0

Então:

1 – 2x = 0

     -2x = -1

        x = 1/2

verificando, vem:

z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro)

logo, x = 1/2

z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro.

8 – x = 0

      x = 8

para x = 8, temos:

(2.8 – 3) = 13 ≠ 0

Logo, x = 8

 

 

Conjugado de um complexo

20nc.jpg

Vamos obter os conjugados dos seguintes números:

21nc.jpg

 

 

Divisão

 

Dados os complexos z1 e  z2   com z2  ≠ 0, podemos fazer

 z1 /z2    multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador.

Considere z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i.

22nc.jpg

Exemplos:

Vamos efetuar a divisão de z1 = 2 + 4i   por   z2 = 5 – i ;

24nc.jpg

Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu inverso:

26nc.jpg

Escreva os conjugados dos seguintes complexos:

z = -3i + 1

conjugado: 1 + 3i

28nc.jpg

Efetue as divisões:

29nc.jpg

30nc.jpg

Simplifique a expressão:

31nc.jpg

Determine o número complexo z tal que:

32nc.jpg

(a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i

a  +  bi – a + bi + a² - abi + abi – bi² = 8 + 4i

2bi + a² + b² = 8 + 4i

2b = 4

b = 2

a² + b² = 8

a² + 4 = 8

a² = 4

Logo, z = 2 + 2i  ou  z = -2 + 2i

 

Potências de i

Estudando as potências de i

33nc.jpg

Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão. Veja:

9 : 4 =

Quociente = 2

Resto = 1

i¹ = i

82 : 4 =

Quociente = 20

Resto = 2

i² = -1

123 : 4 =

Quociente = 30

Resto = 3

i³ = -i

 
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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud
 
Campos do Jordão - SP