NÚMEROS COMPLEXOS

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O que existe além dos números reais?

Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em 1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ + px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de números negativos, que até então não eram aceitas pelos matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte equação:

x³ - 6x + 4 = 0

Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema

(u – v)³ - 6(u – v) + 4 = 0

uv = -2

u³ - 3u²v + 3uv² - v³ - 6u + 6v + 4 = 0

uv = -2

Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda , obtém-se:

u³ - v³ + 4 = 0

v = -2/u

Chamando u³ = t temos:

Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada de número negativo, temos que não existem u nem v e, conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém, espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação

x³ - 6x + 4 = 0, pois 2³ - 6.2 + 4 = 0.

Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos números, como por exemplo:

Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael Bombelli ( cerca de

1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos. Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade:

Dando assim subsídios para o início da construção de um novo conjunto: o conjunto dos números complexos.

Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo, da equação x² + 1 = 0

x² + 1 = 0

x² = -1

S = { }

Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação passará a ter solução não-vazia.

No conjunto dos números complexos,convenciona-se que:

Exemplo:

Vamos resolver a equação x² - 2x + 5 = 0.

Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que:

A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.

Tomando um número complexo z = a + bi, temos:

a = 0 z = a + bi

b ≠ 0 (imaginário puro).

Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma

a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é também complexo.

Exemplo:

Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0 são reais.

Exercícios:

Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro ou real:

Determine o valor de m e n para que o complexo

z = (m² - 4) + (n³ - 27) i seja um imaginário puro.

Resolução:

z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0. Logo:

m² - 4 = 0

m² = 4

m = -2 ou m = 2

n³ - 27 ≠ 0

n³ ≠ 27

n ≠ 3

Dados os complexos a seguir, determine:

a) m e n para que z = m + (2m - n + 1)i seja imaginário puro.

Resolução:

m = 0

2m – n + 1 ≠ 0

-n ≠ -1

n ≠ 1

b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real.

Resolução:

2b + 7 = 0 qualquer a є R

2b = -7

b = - 7/2

c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0.

Resolução:

2x + 4 = 0 y – 3 = 0

2x = -4 y = 3

x = -4/2 = -2

Resolva as equações a seguir para U = C:

Igualdade e operações

Dados dois números complexos z₁= a₁+ b₁i e z₂ = a₂+ b₂i, dizemos que eles são iguais quando a parte real de z₁for igual a de z₂, o mesmo ocorrendo com as partes imaginárias:

a₁+ b₁i = a₂+ b₂i ↔ a₁= a₂ e b₁ = b₂

Exemplo:

Considere os complexos z₁= (a + 1) + 3i e z₂ = 4 + (2 – b) i. Teremos z₁ = z₂se ocorrer:

(a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i

a + 1 = 4

a = 3

2 – b = 3

b = -1

Adição e subtração

Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z₁= a₁+ b₁i e

z₂ = a₂+ b₂i somando ou subtraindo as partes reais, a₁e a₂ e as partes imaginárias b₁ e b₂:

(a₁+ b₁i) + (a₂+ b₂i) = (a₁+ a₂) + (b₁+ b₂) i

(a₁+ b₁i) - (a₂+ b₂i) = (a₁- a₂) + (b₁ - b₂) i

Dados os complexos z₁= 2 – 3i e z₂ = z₂ = 4 + 6i, temos:

a) z₁+ z₂ = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i

b) z₁- z₂= 2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i

c)z₂ – z₁= 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i

d)2z₁= z₁+ z₁= 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i

e)2z₂ = z₂ + z₂ = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i

Efetue as operações indicadas:

a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i

b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i

Multiplicação

Na multiplicação dos complexos z₁= a₁+ b₁i e z₂ = a₂+ b₂i, procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo

i² = -1. Assim:

z₁= a₁+ b₁i

z₂ = a₂+ b₂i

z₁. z₂ = (a₁+ b₁i).( a₂+ b₂i)

z₁. z₂ = a₁a₂ + a₁b₂i + a₂ b₁i + b₁ b₂i²

Como i² = -1, temos:

(a₁+ b₁i).( a₂+ b₂i) = (a₁a₂- b₁ b₂) + (a₁b₂ + a₂ b₁) i

Exemplos:

Vamos multiplicar z₁= 3 + 2i por z₂ = 3 + 4i

z₁. z₂ = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) =

9 + 18i – 8 = 1 + 18i

Se z₁= 4 e z₂ = 2 - 5i, temos:

z₁. z₂ = 4(2 – 5i) = 8 – 20i

Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos seja um número real:

z₁= 2 + i

z₂ = 2 – i

z₁. z₂ = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5

Dados z₁ = 1 – 3i e z₂ = 2 + i, calcule:

a) z₁ . z₂

z₁ . z₂ = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i

b) 2z₁ - 3z₂

2z₁ - 3z₂ = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = - 4 – 9i

c) z₁²

(1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = - 8 – 6i

d) z₂²

(2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i

e) (z₁ + z₂)( z₁ - z₂)

(1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] =

= (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] =

= -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i

Dados os complexos z₁ = a + 2i e z₂ = 3 – bi, determine a e b para que 2z₁ - z₂ seja um imaginário puro.

Resolução:

z₁ = a + 2i

z₂ = 3 – bi

2z₁ - z₂ = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi =

= (2a – 3) + (4 + b)i

Para 2z₁ - z₂ seja um imaginário puro devemos impor:

2a – 3 = 0

2a = 3

a = 3/2

4 + b ≠ 0

b ≠ - 4

Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)².

Resolução:

z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48

Determine o valor real de x para que o número complexo:

z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.

Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0,

Pois Im(z) = 3 ≠ 0

Então:

1 – 2x = 0

-2x = -1

x = 1/2

verificando, vem:

z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro)

logo, x = 1/2

z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro.

8 – x = 0

x = 8

para x = 8, temos:

(2.8 – 3) = 13 ≠ 0

Logo, x = 8

Conjugado de um complexo

Vamos obter os conjugados dos seguintes números:

Divisão

Dados os complexos z₁ e z₂ com z₂ ≠ 0, podemos fazer

z₁ /z₂ multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador.

Considere z₁ = a₁ + b1i e z₂ = a₂ + b₂i.

Exemplos:

Vamos efetuar a divisão de z₁ = 2 + 4i por z₂ = 5 – i ;

Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu inverso:

Escreva os conjugados dos seguintes complexos:

z = -3i + 1

conjugado: 1 + 3i

Efetue as divisões:

Simplifique a expressão:

Determine o número complexo z tal que:

(a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i

a + bi – a + bi + a² - abi + abi – bi² = 8 + 4i

2bi + a² + b² = 8 + 4i

2b = 4

b = 2

a² + b² = 8

a² + 4 = 8

a² = 4

Logo, z = 2 + 2i ou z = -2 + 2i

Potências de i

Estudando as potências de i

Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto dessa divisão. Veja:

9 : 4 =

Quociente = 2

Resto = 1

i¹ = i

82 : 4 =

Quociente = 20

Resto = 2

i² = -1

123 : 4 =

Quociente = 30

Resto = 3

i³ = -i

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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud

Campos do Jordão - SP